欧式距离与余弦距离的区别与联系

在reid-strong-baseline里面看到，向量归一化，再计算欧氏距离，其效果等价于余弦距离，我在这里简单证明下。

给定两个n维向量X, Y，二者之间的欧式距离为：
$$d_{euc} = \|X-Y\|$$

二者之间的余弦距离为：
$$
d_{cos} = 1-\frac {X\cdot Y}{\|X|\cdot \|Y\|}
$$

归一化之后欧式距离为：
$$
d_{n\_euc} = \Bigg \| {X\over \|X\|}-{Y\over \|Y\|}\Bigg \|
= \sqrt{\sum_{i=1}^n\Big({x_i\over\|X\|}-{y_i\over\|Y\|}\Big)^2} \\
= \sqrt{\sum_{i=1}^n({x_i^2\over |X|^2} + {y_i^2\over |Y|^2} - {2x_iy_i\over|X||Y|})} \\
= \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{\|X\|^2} + \frac{\sum y_i^2}{\|Y\|^2} - \frac{2\sum x_iy_i}{\|X\|\cdot \|Y\|} } \\
= \sqrt{2-\frac{2X\cdot Y}{\|X\|\cdot \|Y\|}} = \sqrt{2\cdot d_{cos}}
$$